Segundas derivadas

Se pueden obtener las segundas derivadas volviendo a aplicar el razonamiento de las primeras. De nuevo, comenzamos con LME en una dimensión, y en el Anexo A.1 se puede encontrar el caso más general: SME en varias dimensiones.

La regla de la cadena indica que ahora necesitaremos la segunda derivada de $\lambda$ , $\lambda''$ :

$$\frac{d^2s_a}{dx^2}= \frac{\partial^2 s_a}{\partial x^2} + 2 \fra... ...l \lambda^2 } (\lambda')^2 + \frac{\partial s_a}{\partial \lambda} \lambda''=0.$$ (7.3)

De nuevo, la función objetivo $\log Z$ debe permanecer en un mínimo, y esto implica que, también para la segunda derivada,

$$\frac{d^2 }{d x^2} \frac{\partial \log Z}{\partial d\lambda} =0 .$$

La aplicación de la regla de la cadena lleva a:

$$\frac{\partial^2 \log Z}{\partial \lambda^2} \lambda '' + \frac{\... ...tial x} \lambda' + \frac{\partial^3 \log Z}{\partial \lambda \partial^2 x} =0 .$$ (7.4)

Las terceras derivadas de $\log Z$ pueden calcularse así que, con $\lambda'$ conocida de la sección anterior, puede despejarse $\lambda''$ .

Este sencillo esquema se convierte en farragoso en SME, debido a la aparición de $\beta$ (cuya segunda derivada es también necesaria). Por último, en dimensiones superiores el sistema final de ecuaciones es bastante impresionante; además, está plagado de sutilezas y su implementación es bastante ardua. Sin embargo, su ejecución numérica es bastante trivial. Resumimos los pasos necesarios:

• Resolver el problema de la sección anterior (primeras derivadas).
• Calcular las terceras derivadas de $\log Z$ , ecuaciones (A.34) a (A.43).
• El resultado es un problema de álgebra lineal cuya matriz es la misma que en la sección anterior. Esto puede comprobarse en el caso sencillo de (7.4): el coeficiente de $\lambda''$ ya estaba calculado de antes. Desde el punto de vista numérico esto es crucial, ya que se puede emplear la misma descomposición (LU, por ejemplo) de la sección anterior. Lo que cambia es el vector independiente.
• Hallar la solución del problema de álgebra lineal por columnas^7.1, para obtener las segundas derivadas espaciales de $\lambda$ y $\beta$ .
• Finalmente, calcular el tensor de segundas derivadas de la Ec. (A.29).