Segundas derivadas

Los resultados anteriores pueden encontrarse, con menos detalles, en la Ref. [33]. Lo que sigue representa material original.

Ahora deseamos calcular

$$\frac{d^2 s_a}{d x_i dx_k}= d^2s_{a,ik} .$$ (A.28)

Por la regla de la cadena, y tras algunos pasos intermedios,

$$\begin{split}d^2s_{a,ik} &= \frac{ds_{a,i} ds_{a,k} }{s_a} + ... ...x_t -g_{mn}g_{st}) d\mu_{mn,i} d\mu_{st,k} . \\ &\} \end{split}$$ (A.29)

Todas las expresiones que aparecen se han discutido en las secciones anteriores, salvo las segundas derivadas espaciales $d^2\lambda$ and $d^2\mu$ . Ahora, debemos imponer que la segunda derivada espacial de la Ec. (A.8) siga siendo nula:

$$\frac{d^2 }{d x_l d x_i} \frac{\partial\log Z}{\partial \lambda_k}=0 .$$ (A.30)

De este modo, llegamos a

$$\begin{split}& (\partial^2 \log Z / \partial\lambda^2)_{kj} (... ...og Z / \partial\lambda\mu\partial^2 x)_{k,il} = 0 . \end{split}$$ (A.31)

Un resultado similar se sigue de

$$\frac{d^2 }{d x_l d x_i} \frac{\partial\log Z}{\partial \lambda_{st}}=0 .$$ (A.32)

De nuevo, llegamos a un problema de álgebra lineal que debe ser resuelto. El ``vector'' de soluciones es ahora una matriz: cada columna $j$ de ella corresponde a $d^2\lambda_{ij}$ ; el índice de fila $i$ corresponde a la dirección cartesiona $i$ .

Para calcular las nuevas derivadas de $\log Z$ que hacen falta, tenemos el resultado general

$$\begin{split}\frac{\partial^3 \log Z}{\partial \xi \partial \... ...al^3 f_a}{\partial\xi\partial \phi\partial \psi} \} \end{split}$$ (A.33)

De este modo, obtenemos las siguentes derivadas.

$$(\partial^3 \log Z / \partial\lambda^3)_{ijk} \overset{*}{=} (j3)_{ijk}$$ (A.34)

$$(\partial^3 \log Z / \partial\lambda^2\partial \mu)_{ijst} \overset{*}{=} (j4)_{ijst} - g_{ij} g_{st}$$ (A.35)

$$(\partial^3 \log Z / \partial\lambda^2\partial x)_{ijk} \overset{*}{=} 2 (j3)_{ijl}\mu{kl}$$ (A.36)

$$(\partial^3 \log Z / \partial\lambda\partial^2 \mu)_{istuv} \overset{*}{=} (j5)_{istuv} - (j3)_{sti} g_{uv} - (j3)_{uvi} g_{st}$$ (A.37)

$$\begin{split}(\partial^3 \log Z / \partial^3 \mu)_{stuvpq} \o... ... - (j4)_{uvpq} g_{st} + \\ & 2 g_{st} g_{uv} g_{pq} \end{split}$$ (A.38)

$$(\partial^3 \log Z / \partial\lambda^2\partial x)_{ij,k} \overset{*}{=} 2 (j3)_{lij} \mu_{kl}$$ (A.39)

$$\begin{split}(\partial^3 \log Z / \partial\lambda\partial\mu\... ..._{sk}+ \\ & 2\mu_{kl}[(j4)_{list} - g_{li} g_{st} ] \end{split}$$ (A.40)

$$\begin{split}(\partial^3 \log Z / \partial\mu^2\partial x)_{s... ..._{sk}+ (j3)_{stu}\delta_{vk}+ (j3)_{stv}\delta_{uk} \end{split}$$ (A.41)

$$(\partial^3 \log Z / \partial\lambda\partial^2 x)_{i,jk} \overset{*}{=} 4 \mu_{kl} \mu_{jm} (j3)_{lmi}$$ (A.42)

$$\begin{split}(\partial^3 \log Z / \partial\mu\partial^2 x)_{s... ... 2\mu_{kl} [ g_{sl}\delta_{tj}+ g_{tl}\delta_{sj} ] \end{split}$$ (A.43)

Ahora el procedimiento sería:

• Resolver el problema de las secciones anteriores.
• Calcular las derivadas segundas, Ecs. de (A.34) a (A.43). (Se recomienda un cálculo previo de $j4$ , $j5$ y $j6$ .)
• En el problema de álgebra lineal que se obtiene la matriz resulta ser la misma que en la sección anterior. Si se emplea la decomposición LU no hace falta por tanto volver a descomponer la matriz y pueden usarse las mismas matrices $L$ y $U$ . El ``vector'' independiente (una matriz, en realidad), sí cambia.
• Encontrar la solución al problema de álgebra lineal columna a columna para encontrar las segundas derivadas espaciales de $\lambda$ y $\mu$ .
• Calcular las derivadas deseadas a partir de la Ec. (A.29).

Queremos recalcar que en estas expresiones suponemos que el tensor $g$ es constante en un entorno local del punto en cuestión, así que sus derivadas espaciales no aparecen. Sin embargo, no hacemos ninguna otra suposición adicional. Por ejemplo, si $g$ es simplemente el tensor identidad multiplicado con un escalar (que es justamente nuestra elección), muchas de las expresiones se simplifican considerablemente.