Simulaciones de Lagrange

Las simulaciones de partículas, o lagrangianas, siguen el otro punto de vista histórico, el lagrangiano. Se definen por tanto partículas de fluido que deben seguir el campo de velocidades. Esto conlleva la dificultad de que no puede definirse ya una malla fija para el sistema. De hecho, el propio concepto de malla debe ser redefinido: o bien se abandona totalmente o bien se debe remallar a cada paso temporal (o, al menos, cada cierto tiempo).

Estas simulaciones pueden ser superiores a las eulerianas, más tradicionales, por distintos motivos [5]:

• El tratamiento de la advección es exacto (dentro de los límites de la integración temporal). En cambio, los metodos eularianos presentan generalmente una dependencia del mallado, que debe escogerse con cuidado, y falta de invarianza galileana que se pone se manifiesto si se sobreimpone un campo constante de velocidades.
• Los sistemas con más de una componente son fáciles de simular: una partícula es de un tipo o de otro. En particular, el tratamiento de la superficie libre es muy sencillo: es la superficie que separa dos componentes. Se pueden obtener resultados razonables sin imponer condiciones en esta superficie.
• El cálculo numérico se realiza en las zonas donde hay partículas. Esto es fundamental a la hora de simular sistemas donde la materia está muy concentrada en ciertas regiones, y hay grandes vacíos entre ellas. Por ello uno de los orígenes del método SPH, y una de sus principales aplicaciones, es en cosmología y astrofísica, donde la materia acaba en muchas ocasiones concentrada en regiones muy reducidas. También es importante en problemas con fragmentación y gotas.
• Un aspecto relacionado con el anterior: no es necesario intuir dónde va a ser necesaria más precisión. En una simulación euleriana es por lo general necesario refinar la malla en las zonas donde se prevé más dificultad; en una lagrangiana, este refinamiento puede irse modificando en el tiempo y el espacio.
• Para problemas con fragmentación, el enfoque euleriano es mucho más sencillo, ya que no hay que preocuparse demasiado por las condiciones de contorno. Por ello, el método SPH es casi estándar en problemas de explosivos.
• La simulación numérica de partículas es muy similar a la dinámica molecular. Al estar este método muy desarrollado, se pueden utilizar las múltiples técnicas desarrolladas para él, como por ejemplo las listas de vecinos de Verlet o las celdas enlazadas, para acelerar la ejecución. También se pueden adaptar las técnicas que no pueden aplicarse directamente, como los integradores temporales: en dinámica molecular las fuerzas dependen por lo general de las posiciones solamente; si éstas dependen de la velocidad también los algoritmos deben ser adaptados. En este último punto, hay una fuerte analogía con la dinámica de partículas disipativa (DPD), una técnica de simulación molecular donde aparecen fuerzas de fricción dependientes de la velocidad.

Históricamente, estas simulaciones comienzan con la propuesta de la hidrodinámica de partículas suavizadas (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH). Hoy en día es claramente el método más popular de simulación lagrangiana.

Sin embargo, antes de presentar el método, y otras teorías más alternativas, es conveniente formular los métodos de partículas dentro de un formalismo genérico. Seguiremos la Ref. [14], uno de los trabajos más claros sobre este tema.