Elementos finitos en 2D

Las integrales son más complicadas en dos dimensiones, pero son bastante asumibles, dado que los elementos son lineales a trozos. Es evidente que un nodo sólo tiene solapamiento con sus vecinos de Voronoi (o Delaunay). Así pues, las integrales son sobre triángulos. El resultado final es:

$$m_a (\nabla^2 f)_a \doteq \frac{1}{2} \sum_b f_b \left( \cot\theta_{ab} + \cot\theta'_{ab} \right) ,$$ (4.2)

donde $m_a=A/3$ , un tercio del área de la base del elemento (la suma de las áreas de los triángulos incidentes) y los dos ángulos son los dos ángulos externos compartidos por el nodo $a$ y su vecino $b$ (ver figura 4.2). Esta es la conocida ``fórmula de la cotangente''. Como esta función trigonométrica tiende a 0 cuando los ángulos tienen al recto, esto significa que el papel de un nodo $b$ es menor cuando sus triángulos son abiertos en la dirección que une $a$ y $b$ . En cambio, cuando son cerrados o abiertos su papel es muy grande, al tender la contangente a infinito cuando su argumento tiende a cero o a dos ángulos rectos. Vemos que esta expresión del laplaciano incorpora por tanto una noción de la distorsión de una triangulación.

Cuando $a=b$ , la fórmula es la que satisface consistencia de orden cero:

$$\sum_b \left( \cot\theta_{ab} + \cot\theta'_{ab} \right) , \quad\rightarrow\quad (\nabla^2 c)_a \doteq 0.$$

En la práctica, es más útil utilizar este hecho que evaluar la expresión completa.

Figura: Los dos ángulos de la fórmula de la cotangente.

Como este método es ampliamente utilizado, han aparecido numerosos trabajos sobre las propiedades de esta aproximación [12,13].

En cuanto a la matriz de masas, los elementos son

$$m_{a,a}=\frac{A}{6},$$

con la misma área $A$ que aparecía en $m_a$ , y

$$m_{a,b}=\frac{A_{ab}}{12} ,$$

donde $A_{ab}$ es el área de los dos triángulos compartidos por $a$ y $b$ . Sumando para cada triángulo, dado que existen dos nodos distintos de $a$ , se tendrá

$$\sum_b m_{a,b}=\frac{A_{ab}}{6} + 2 \frac{A_{ab}}{12} =\frac{A_{ab}}{3} .$$

Sumando a todos los triángulos incidentes a $a$ se recupera la expresión para la masa acumulada, $m_a=A/3$ .