Divergencia

Para avanzar en este problema de una manera sistemática, fijémonos en la ecuación (2.3) para el cambio de volumen de una partícula, y apliquémosla a una partícula:

$$\frac{\mathcal{V}_a}{dt} = \mathcal{V}_a \nabla_a\cdot v .$$ (4.5)

En este momento, formulemos esta importante condición:

Propiedad 4   Volumen de la partícula: El volumen de una partícula dada viene determinado por la posición del conjunto de las partículas.

Esta condición es bastante genérica y no especifica de momento cuál es procedimiento para obtener el volumen de una partícula. Como veremos, distintos procedimientos conducen a distintas aproximaciones.

Si admitimos esto, la regla de la cadena nos dice que el cambio en el volumen será

$$\frac{d \mathcal{V}_a}{dt} = \sum_b \frac{d\mathcal{V}_a}{dR_b} \cdot \frac{dR_b}{dt}= \sum_b \frac{d \mathcal{V}_a}{dR_b} \cdot v_b .$$ (4.6)

Aquí se ha escrito $d \mathcal{V}_a / dR_b$ para el vector que expresa el cambio del volumen $\mathcal{V}_a$ cuando cambia la posición de la partícula $b$ . Es decir, su componente cartesiana $i$ vendra dada por $d \mathcal{V}_a / d x_{b,i}$ .

Comparando la expresión con (4.5), vemos que una aproximación a la divergencia en la partícula $a$ sería

$$\nabla_a\cdot v \doteq \frac{1}{\mathcal{V}_a} \sum_b \frac{d \mathcal{V}_a}{dR_b} \cdot v_b .$$ (4.7)

En rigor, esta sería una aproximación a la divergencia de la velocidad. Sin embargo, como estamos buscando una expresión general para la divergencia, esta fórmula debe tomarse como válida para cualquier campo vectorial, no sólo el de velocidades.