Base física para los métodos de máxima entropía

No hemos hecho énfasis apenas en una serie de requisitos físicos que una teoría de partículas debería verificar. Por una lado está la conservación de diversas magnitudes físicas en la simulación de la parte sin viscosidad (parte denominada a veces ``conservada'') de las ecuaciones de movimiento para las parículas:

Momento lineal.

Las ecuaciones deben ser invariantes bajo una traslación espacial arbitraria.

Momento angular.

También deben serlo para una rotación arbitraria.

Energía.

Lo mismo para una traslación temporal. La conservación de la energía está presente en la derivación de la expresión para el gradiente de la Sección 4.3.1 sobre las simulaciones de partículas en general. Así pues, las fuerzas de presión obtenidas de este modo cumplen automáticamente esta conservación (siempre que el método numérico de integración temporal sea adecuado en este sentido, como sucede para los llamados simplécticos).

El hecho de que las invarianzas conlleven la conservación de magnitudes físicas se debe al conocido teorema de Noether. Referimos al lector a la Ref. [14] para más información sobre propiedades de conservación. Nos limitamos a resumir que la formulación de Voronoi considerada por este grupo (descrita en la sección 5), así como la habitual SPH (sección 4.3.2), en menor grado.

Por otro lado, la parte viscosa (o ``no conservada'') debe satisfacer, además:

Segunda ley.

El laplaciano debe ser siempre semi-definido negativo.

Esta propiedad garantiza que el término viscoso siempre conlleve un frenado del sistema. Su denominación se debe a la Segunda Ley de la Termodinámica; no hemos considarado las ecuaciones hidrodinámicas de magnitudes termodinámicas, pero en su forma más sencilla la ley de Fourier para la conducción térmica (la ``ecuación del calor'') es:

$$\nabla ^2 T =\kappa \frac{d T}{dt} ,$$

donde $T$ es la temperatura y $\kappa$ el coeficiente de conducción térmica. Puede verse que si el laplaciano no es siempre semi-definido negativo, la temperatura puede aumentar en los sitios calientes y disminur en los fríos, violando así la Segunda Ley. De igual manera, la ecuación de difusión de Fick también requiere que la concentración de un soluto vaya de los sitios donde hay más a donde hay menos.

Por desgracia, el método SME en la implementación ``directa'' 7.1 no satisface esta propiedad, como hemos verificado numéricamente. Tampoco satisface, como es obvio, la reciprocidad de acción y reacción, ya que, en general:

$$\nabla^2 s_a(x_b) \ne \nabla^2 s_b(x_a) .$$

En cambio, una formulación como en los elementos finitos sí la satisface:

$$\int s_a \nabla^2 s_b = \int s_b \nabla^2 s_a = - \int \nabla s_a \nabla s_b ;$$

las dos primeras expresiones son iguales porque al integrar por partes se llega a una expresión manifiestamente simétrica (siempre que se puede integrar con partes; puede que las condiciones de contorno compliquen este argumento). También es sencillo demostrar que la expresión es semi-definida negativa. Esto significa que el laplaciano podría introducirse a la manera de elementos finitos con las funciones base SME, que es lo que se hace en el artículo original [33]. Sin embargo, nos gustaría evitar esta evaluación por los motivos enumerados en 7.1.

También hay que mencionar la importancia del programa GENERIC en el desarrollo de estas ideas, comenzando con el artículo seminal Ref. [1]. Este programa establece matemáticamente un marco de teorías que cumplen las propiedades mencionadas, y además permite enlazar correctamente con el nivel mesoscópico, en el cual están presentes fluctuaciones brownianas. Es importante tratar que la teoría resultante se adapte a esta estructura en lo posible.