Adaptación a partículas

Los métodos de máxima entropía que se han propuesto emplean técnicas de Galerkin. Para ello es necesario evaluar las funciones base y sus derivadas en una serie de puntos espaciales. Como estos métodos requieren integraciones del producto de las funciones (para la matriz de masas) y de sus gradientes (para la de rigidez), es necesario evaluar las funciones en un conjunto de puntos mayor que el de los nodos.

La cuestión de escoger bien estos puntos y asignarles pesos se conoce con el nombre de ``cuadratura''. Esta técnica es compleja ya que las funciones base no tienen soporte compacto; además, se extienden más allá de los primeros vecinos. De hecho, parece que en una dimensión son deseables unos $4$ vecinos por partícula (dos a cada lado), y en dos dimensiones, unos $30$ . Los métodos de cuadratura suelen realizarse sobre una triangulación de Delaunay.

Por otro lado, un enfoque conceptual de cuadratura nos sacaría fuera del marco general de simulaciones de partículas. Según este, la interacción sobre una depende tan sólo de propiedades de las demás partículas. En este sentido, la introducción de ``nodos'' de cuadratura resulta extraña.

Así pues, para evitar la complejidad asociada a los cálculos de cuadratura desde un punto de vista práctico, y para mantenernos dentro del enfoque de partículas, hemos considerado la opción de aproximar directamente las sucesivas derivadas de los campos reconstruidos:

$$\begin{split}f(x) & \approx \sum_{a=1}^N s_a(x) f_a \\ \nabla... ...a^2 f(x)& \approx \sum_{a=1}^N \nabla^2 s_a(x) f_a. \end{split}$$ (7.1)

Además, no estamos por lo general interesados en cualquier punto espacial $x$ , sino en el que corresponda a una partícula $b$ . Por ejemplo,

$$\nabla^2_b f \approx \sum_{a=1}^N \nabla^2 s_a(x_b) f_a .$$