Conservación de la energía

La energía de una partícula es la suma de energía interna, energía cinética y energía potencial:

$$E= U +\frac{1}{2} m v^2 - m g\cdot r ,$$ (2.10)

donde $U$ es la energía interna, y los otros dos términos son los habituales para la energía cinética y la potencial gravitatoria (la única que consideramos en este trabajo). Recordando que $m$ es constante, la variación temporal de la energía será

$$\frac{dE}{dt}= \frac{dU}{dt} + m v \cdot \frac{dv}{dt} -m g\cdot v.$$ (2.11)

Por otro lado, la conservación de la energía viene dada por la primera ley de la termodinámica, que reza:

$$dE=dQ+dW,$$

donde el cambio de energía de una partícula $dE$ , puede deberse al calor aportado a la misma $dQ$ , o al trabajo realizado sobre la misma.

En cuanto al calor, si se define un flujo de calor por unidad de área $q$ , de nuevo podemos plantear un problema similar al que relacionaba fuerza y esfuerzos. Por ejemplo, en la cara $x$ izquierda tendremos un aporte de calor igual a:

$$\frac{dQ_{x,\mathrm{izda}}}{dt} = q_x dy dz.$$

En la dirección $x$ el incremento neto de calor es:

$$\frac{dQ_{x,\mathrm{neto}}}{dt} = - % \cV \left( \frac{\partial q_x}{\partial x} dx \right) dy dz.$$

El resultado acaba siendo

$$\frac{dQ}{dt} = - \mathcal{V}\nabla\cdot q .$$

El flujo de calor suele considerarse bien aproximado por la ley de Fourier, que establece que estos flujos son proporcionales al gradiente de temperaturas (y de signo contrario, obviamente):

$$q=-\kappa \nabla T,$$

donde $\kappa$ es la conductividad térmica. En este caso,

$$\frac{dQ}{dt} = \mathcal{V}\nabla \kappa \nabla T .$$

Para el trabajo, el argumento es similar: hay que evaluar la tasa de trabajo en cada una de las caras. En la cara $x$ izquierda esta tasa viene dada por la fórmula de la potencia mecánica:

$$\frac{dW_{x,\mathrm{izda}}}{dt} = -( v_x \tau_{xx} + v_y \tau_{xy} + v_z \tau_{xz}) dy dz;$$

el signo menos se debe a que consideramos el trabajo sobre la partícula de las fuerzas de contacto que aparecían en la ec. (2.6) y siguientes; recordemos que los esfuerzos son positivos en la dirección hacia fuera de la partícula. Así pues, en la dirección $x$ el incremento neto de trabajo es:

$$\frac{dW_{x,\mathrm{neto}}}{dt} = % \cV \left( \frac{\partial \sum_j v_x\tau_{xj}}{\partial x} dx \right) dy dz.$$

Teniendo en cuenta todas las caras,

$$\frac{dW}{dt} = \mathcal{V}\nabla (v\cdot\tau) .$$

Apliquemos la regla de la cadena:

$$\nabla (v\cdot\tau) = v\cdot(\nabla\cdot\tau)+\tau : {\nabla v} ,$$

donde ``$:$ '' significa reducción completa de dos tensores: $a:b=\sum_{i,j} a_{ij}b_{ij}$ . Del primer término, sabemos de la ecuación del momento, (2.7):

$$\nabla\cdot\tau=\rho\left(\frac{d v}{d t} - g \right) .$$

Así pues,

$$\mathcal{V}v\cdot(\nabla\cdot\tau) = m v \cdot \frac{dv}{dt} -m g\cdot v .$$

Llega ahora el momento de igualar las dos expresiones para el cambio de energía, y vemos que parte de la ecuación del trabajo cancela la parte de la expresión (2.11) correspondiente al cambio en energía cinética y gravitatoria. El resultado final es:

$$\frac{1}{\mathcal{V}} \frac{d U}{d t}= \nabla \kappa \nabla T + \tau : {\nabla v} .$$

Definiendo la energía interna por unidad de masa $u=U/m$ ,

$$\rho \frac{d u}{d t}= \nabla \kappa \nabla T + \tau : {\nabla v} .$$

Otra expresión alternativa se puede obtener dividiendo el tensor de esfuerzos en una parte viscosa y otra de presión, diagonal

$$\tau=\tau' - p \bar{1} .$$

Entonces,

$$\tau : {\nabla v} = \tau' : {\nabla v} -p \nabla\cdot v .$$

Pero de la ecuación de continuidad, podemos escribir:

$$- p \nabla\cdot v = \frac{p}{\rho} \frac{d\rho}{dt}.$$

Desarrollando la expresión,

$$\frac{p}{\rho} \frac{d\rho}{dt} = -\rho \left( - \frac{p}{\rho^2... ...\rho \left( - \frac{d (p/\rho)}{dt} - \frac{1}{\rho} \frac{dp}{dt} \right) .$$

La ecuación de la energía puede reescribirse de este modo:

$$\rho \frac{d h}{d t}=\frac{d p}{d t} + \nabla \kappa \nabla T + \tau' : {\nabla v} ,$$

donde la entalpía por unidad de masa es $h=u+p/\rho$ .

El término $\tau' : {\nabla v}$ se denomina ``función de disipación'', y puede comprobarse que es siempre positivo. Esta es una expresión de la segunda ley: la viscosidad representa siempre una pérdida de energía.