Primeras derivadas

Ahora deseamos calcular

$$\frac{d s_a}{d x_i}= \nabla_i s_a = ds_{a,i},$$ (A.11)

donde la notación ``$_{,i}$ '' significa el componente $i$ -ésimo de una derivada espacial (aun así, mantenemos la letra ``$d$ '' for claridad).

Por la regla de la cadena,

$$s_{a,i} = \frac{\partial s_a}{\partial x_i}+ \frac{\partial s_a}{... ...\lambda_j} d\lambda_{j,i} + \frac{\partial s_a}{\partial \mu_{st}} d\mu_{st,i}.$$ (A.12)

La primera derivada es fácil de obtener:

$$ds_{a,i} \overset{*}{=}2\mu_{ij}x_j ,$$ (A.13)

y podemos reducir la Ec. (A.12) a:

$$ds_{a,i} = s_a [ 2\mu_{ij}x_j+ d\lambda_{j,i} x_j+ d\mu_{st,i} (x_s x_t -g_{st}) . ]$$ (A.14)

Para los otros dos términos, dado que la Ec. (A.8) debe satisfacerse en todo punto, tenemos

$$\frac{d }{d x_i} \frac{\partial\log Z}{\partial \lambda_k}=0 .$$ (A.15)

La regla de la cadena entonces lleva a

$$\begin{split}\frac{d }{d x_i} \frac{\partial\log Z}{\partial ... ..._{st}} \frac{\partial \mu_{st}}{\partial x_i} = 0 , \end{split}$$ (A.16)

y de la Ec. (A.9),

$$\begin{split}\frac{d }{d x_i} \frac{\partial\log Z}{\partial ... ..._{uv}} \frac{\partial \mu_{uv}}{\partial x_i} = 0 . \end{split}$$ (A.17)

Estas dos ecuaciones tienen la forma de un sistema de ecuaciones lineales que hay que resolver para $d\lambda_{i,j}$ and $d\mu_{st,j}$ . En forma matricial esquemática,

$$\left( \begin{array}{cc} D^2\log Z_{\lambda\lambda} & D^2\log Z_{... ...} D^2\log Z_{\lambda x} \\ D^2\log Z_{\mu x} \\ \end{array} \right) = \vec{0} .$$ (A.18)

Ahora necesitamos evaluar todas las derivadas de segundo orden de $\log Z$ que aparecen en estas expresiones. Para obtenerlas sistemáticamente observamos que, derivando de nuevo la Ec. (A.7):

$$\frac{\partial^2 \log Z}{\partial \xi \partial \phi} = \sum_a s_a... ... f_a}{\partial \xi} + \frac{\partial^2 f_a}{\partial \xi \partial \phi} \right]$$ (A.19)

Así pues obtenemos las siguientes expresiones.

$$\frac{\partial^2\log Z}{\partial \lambda_i\partial x_j} \overset{*}{=} 2 g_{ik}\mu_{jk} +\delta_{ij}$$ (A.20)

$$\frac{\partial^2\log Z}{\partial \lambda_i\partial \lambda_j} \overset{*}{=} g_{ij}$$ (A.21)

(obsérvese la necesidad de que $g$ sea simétrico).

$$\frac{\partial^2\log Z}{\partial \lambda_i\partial \mu_{st}} \overset{*}{=} (j3)_{ist} ,$$ (A.22)

donde $j3$ es un tensor de rango $3$ de componentes

$$(j3)_{ist} =\sum_a s_a x_i x_s x_t .$$ (A.23)

En general, utilizaremos tensores de rango $n$

$$(jn)_{i\ldots} =\sum_a s_a x_i \cdots ,$$ (A.24)

hasta $n=6$ . Nótese que $j2 \overset{*}{=}g$ .

$$\frac{\partial^2\log Z}{\partial x_i \partial \mu_{st}} \overset{*}{=} 2\mu_{ik} (j3)_{kst}$$ (A.25)

$$\frac{\partial^2\log Z}{\partial \mu_{st}\partial \mu_{uv}} \overset{*}{=} (j4)_{stuv} - g_{st} - g_{uv}$$ (A.26)

$$\frac{\partial^2\log Z}{\partial x_i\partial x_j} \overset{*}{=} 4\mu_{il}\mu_{jm} g_{lm} + 2g_{ij}$$ (A.27)

El procedimiento es, por tanto:

• Resolver el problema de la sección anterior.
• Calcular segundas derivadas, Ecs. de (A.20) a (A.27). (Un cálculo previo de $j3$ y $j4$ es recomendable).
• Usar estas para construir la matriz y el vector independiente del problema de álgebra lineal de la Ec. (A.18).
• Resolver el problema lineal. El sistema debe reducirse antes, ya que algunas ecuaciones son redundantes. Por ejemplo, la ecuación para $\mu_{xy}$ es la misma que para $\mu_{yx}$ ; esto puede llevar a errores con algunos códigos numéricos. Hemos empleado la decompsición LU estándar, según está implementada en las librerías GSL.
• Calcular las derivadas espaciales deseadas mediante la Ec. (A.14).