Funciones de forma

Nos centraremos en el valor de la función de forma $s_a$ debida al punto (``nodo'' o ``partícula'') $a$ , situado en ${r_a}$ en el espacio $R^d$ , en otro punto $r$ . El vector relativo de posición es $x_a=r_a-r$ ; por simplicidad, omitiremos en muchas ocasiones el subíndice, salvo cuando sea necesario expecificarlo, y escribiremos tan solo ''$x$ ''.

Definimos

$$f_a=\lambda_i x_i + \mu_{ij} (x_i x_j -g_{ij}).$$ (A.1)

En esta expresión, $\lambda$ es un vector de dimensión $d$ , $\mu$ y $g$ son tensores de grado 2 de dimensión $d \times d$ , y se sobreentiende el convenio de suma de Einstein. Mantenemos el nombre de $\mu$ para hacer nuestra notación similar a la de [33], pero en el resto de esta obra se utiliza $\beta=-\mu$ .

En 1D esto significa simplemente

$$f_a=\lambda x + \beta (x^2 -g) ,$$ (A.2)

y en 2D,

$$f_a= \lambda_x x_x + \lambda_y x_y + \beta_{xx} (x_x^2 -g_{xx} ) + \beta_{yy} (x_y^2 -g_{yy} )+ 2 \beta_{xy} ( x_x x_y- g_{xy}) .$$ (A.3)

En el último término anticipamos el hecho de que $\beta$ debe ser un tensor simétrico.

La función de forma $s_a$ tiene el valor

$$s_a=\frac{1}{Z}\exp(f_a),$$ (A.4)

donde $Z$ es denomina ``función de partición'' y es:

$$Z=\sum_{a=1}^N f_a .$$ (A.5)

Nuestra tarea es resolver el problema

$$\min_{\lambda, \mu} \log Z .$$ (A.6)

Observamos que la derivada de $\log Z$ con respecto a cualquier variable $\xi$ puede escribirse, gracias a la regla de la cadena:

$$\frac{\partial \log Z}{\partial \xi} = \sum_a s_a \frac{\partial f_a}{\partial \xi} .$$ (A.7)

Si probamos $\xi=\lambda_i$ obtenemos

$$\frac{\partial\log Z}{\partial \lambda_i}= \sum_a s_a x_i <tex2html_comment_mark>229 \overset{*}{=}0 ,$$ (A.8)

donde el asterisco sobre el signo $=$ significa a partir de ahora que la igualdad sólo rige en los valores para los cuales $\log Z$ es mínimo; es decir, se satisface la Ec. (A.6). En este caso, la igualdad es justamente la condición de mínimo, que implica consistencia a primer orden; este es justamente el motivo por el cuál se introdujeron los multiplicadores de Lagrange $\lambda$ .

Similarmente, si $\xi=\mu_{st}$ obtenemos

$$\frac{\partial\log Z}{\partial \mu_{st}}= \sum s_a (x_s x_t - g_{st}) \overset{*}{=}0 ,$$ (A.9)

Para completar todas las posibilidades, si $\xi=x_i$ obtenemos

$$\frac{\partial\log Z}{\partial x_{i}}= \sum s_a (\lambda_i + \mu_{ik} x_k ) \overset{*}{=}\lambda_i ,$$ (A.10)

que no tiene por qué ser cero en el mínimo en general.

La minimización se lleva a cabo numéricamente mediante, por ejemplo, gradientes conjugados (ya que las fórmulas anteriores proporcionan el gradiente de la función que hay que minimizar); no es necesario ningún cálculo adicional para el valor de las funciones de forma $\{s_a\}$ . Hemos empleado para estos métodos numéricos estándar las bibliotecas GSL (Gnu Scientific Libraries) en lenguaje C [34].