Dos dimensiones

En dos dimensiones colocaremos $N$ partículas sobre el cuadrado unidad $[0,1]\times[0,1]$ en estas posibles disposiciones:

• Sobre una malla regular cuadrada, con las partículas en posiciones $x_a=a/(L-1)-1/2$ , $a\in[1,L]$ , con $L=\sqrt{N}$ , y similarmente para $y_a$ .
• Colocadas al azar, con componentes cartesianas tomadas de números aleatorios entre 0 y $1$ (éstos no incluidos).
• Como estado intermedio, también contemplamos una perturbación de la malla regular cuadrada, en la que cada partícula puede desplazarse al azar dentro de un cuadrado cuyo lado es un $10\%$ de la distancia entre partículas.
• Por último, utilizamos el generador de mallas (``mallador'') de la aplicación GiD [26], diseñado justamente para calcular mallas que tengan buenas propiedades.

En este caso la función que utilizamos es

$$f(x)=\frac{1}{(2\pi)^2} \sen(2 \pi x) \sen(2 \pi y) ,$$

que cumple condiciones de Dirichlet homogéneas en el cuadrado unidad y cuyo laplaciano exacto es

$$g(x)=\nabla^2 f(x)= -2 \sen(2 \pi x) \sen(2 \pi y) .$$

En la figura 5.7 se muestran $900$ partículas colocadas al azar sobre el cuadrado unidad. Se dibuja también la triangulación de Delaunay correspondiente. Además se incluyen las ``partículas de frontera'', necesarias a la hora de implementar las condiciones de contorno (en una dimensión bastaba con dos, que situábamos en 0 y $1$ ). Estas partículas reciben el valor 0 y se tienen en cuenta como vecinas de las partículas interiores (los bordes de la triangulación de color rojo), aunque no se calcula el laplaciano sobre ellas.

Figura: Partículas al azar sobre el cuadrado unidad. Círculos azules sólidos: partículas originales; círculos azules vacíos: partículas del borde añadidas. Segmentos negros: bordes de Delaunay internos; segmentos rojos: bordes externos.

Figura: Aproximación de elementos finitos al laplaciano en 2D (círculos azules), comparada con el laplaciano exacto $g(x)$ (asteriscos verdes) .

Igual que antes, calculamos el laplaciano mediante dos versiones: la completa y la de masa acumulada. En la figura 5.8 se muestra el resultado de la segunda versión para las posiciones aleatorias de la figura 5.7. Evidentemente, el resultado no es muy satisfactorio, con bastante dispersión cerca de los extremos de la función.

Para cuantificar esta dispersión y su dependencia del número de puntos, de nuevo utilizamos el error relativo $L_2$ , ecuación (5.3). Los resultados se muestran en la figura 5.9. Se puede concluir lo siguiente:

• El método de elementos finitos no es convergente en disposiciones desordenadas (aleatorias o perturbadas), en ninguna de las dos versiones.
• La aproximación de masa acumulada es, al contrario que en una dimensión, mejor que la completa.
• En mallas ordenadas el método sí converge. El ajuste revela que la convergencia es de orden $N^{-1}$ , más lenta que en una dimensión. Esta convergencia es muy sensible al orden de la disposición de partículas: sólo se dibujan los resultados para $N$ que son cuadrados perfectos; en otros casos, los errores son superiores debido a la imposibilidad de crear una malla cuadrada perfecta.
• El método también converge en mallas de buena calidad generadas por el programa especializado GiD. En este segundo caso, una visualización de la malla (figura 5.10) permite comprobar que se trata de una malla regular triangular, salvo en ciertas ``costuras'' diagonales. La presencia de estas costuras empeora la convergencia, pero su importancia disminuye al crecer $N$ .

Figura 5.9: Convergencia del laplaciano aproximado por el método FEM en 2D. Círculos azules: versión completa en disposición aleatoria; diamantes azules: versión completa en disposición regular; triángulos azules: versión completa en disposición cuadrada perturbada; cuadrados rojos: versión de masa acumulada en disposición aleatoria; cruces rojas: versión de masa acumulada en disposición regular; aspas rojas: versión de masa acumulada en disposición cuadrada perturbada. Línea azul continua: ajuste a una ley de potencia de exponente $-1$ ; línea azul punteada: ajuste a una ley de potencia genérica (el exponente resulta ser de $-0.22$ ).

Figura: Partículas sobre el cuadrado unidad generadas mediante el programa GiD. Símbolos como en figura 5.7.