Ecuación de Navier-Stokes

Recogiendo todas las contribuciones al tensor de esfuerzos resulta la expresión vectorial

$$\rho \frac{d v}{d t}= \rho g -\nabla p + \nabla \cdot (\mu \overline{\nabla v}+ \lambda (\nabla\cdot v) \bar{1} ).$$ (2.8)

En ella, $\bar{1}$ es el tensor identidad de orden dos, y $\overline{\nabla v}$ es la simetrización del tensor gradiente de velocidades introducida anteriormente.

Alternativamente, con subíndices:

$$\rho \frac{d v_i}{d t}= \rho g_i -\frac{\partial p}{\partial x_i}... ...rtial v_j}{\partial x_i} \right) + \delta_{ij}\lambda\nabla\cdot v , \right]$$

donde se aplica el criterio de Einstein (suma implícita sobre subíndices repertidos).

Para un fluido incompresible el término $\nabla\cdot v$ desaparece. Si además la viscosidad puede considerarse constante (en el caso de los líquidos, esto implica generalmente que la temperatura es constante),

$$\rho \frac{d v}{d t}= \rho g -\nabla p + \mu \nabla^2 v.$$ (2.9)

Esta ecuación suele ser el punto de partida de muchas teorías o simulaciones de fluidos viscosos, a pesar de las numerosas aproximaciones que se presuponen. De nuevo, repetimos que la derivada temporal es la sustancial.