Cambio del momento

La segunda ley de Newton expresa que el momento lineal de una partícula cambia cuando existen fuerzas netas sobre ésta. El momento de una partícula es $p=m v$ ; desde el punto de vista lagrangiano,

$$\frac{\partial m v}{\partial t} = F .$$

Como hemos visto que la masa se conserva, podemos dividir por el volumen de la partícula $\mathcal{V}$ y escribir

$$\rho \frac{\partial v}{\partial t} = f,$$

donde $f=F/\mathcal{V}$ es la fuerza por unidad de volumen.

Esta expresión es, desde el punto de vista euleriano,

$$\rho \frac{d v}{d t} = \rho\left( \frac{\partial v}{\partial t} + v\cdot\nabla v \right) = f.$$

Es en esta ecuación donde queda patente la principal dificultad de las ecuaciones de la hidrodinámica: resultan ser no lineales. Por ello su desarrollo ha sido tan lento, a pesar de haber sido propuestas históricamente a la vez que las de la electricidad y magnetismo. Estas últimas, a pesar de su carácter más abstracto (en términos de campos que no son directamente visibles), sí son lineales, y verifican una serie de propiedades que fallan para la hidrodinámica, tales como: existencia y unicidad de soluciones, movimiento oscilatorio con espectro continuo de frecuencias (una característica principal del flujo turbulento).

Podría objetarse que la expresión equivalente lagrangiana sí parece lineal. De hecho, la no linealidad está ``escondida bajo la alfombra'', ya que las posiciones de las partículas deben actualizarse según $dr/dt=v$ . Las dos propuestas son, de hecho, idénticas, al menos a este nivel, exacto.

La fuerza $f$ se puede descomponer, por lo general, en dos tipos:

• Fuerzas de volumen. La más común es la gravedad, que tiene la conocida forma $F=mg$ (al menos, cerca de la superficie terrestre). Así pues, $f=\rho g$ . En astrofísica y cosmología estas fuerzas son, por supuesto, más complicadas; en magnetohidrodinámica aparecen también campos eléctricos y magnéticos.
• Fuerzas de superficie: de presión y viscosas.

Pasamos a discutir las últimas en más detalle.