Cinemática de una partícula

No nos referimos aquí a la cinemática de una partícula puntual, tan conocida. Más bien, a la acción de un campo de velocidades sobre una de nuestras partículas fluidas. Nos limitamos aquí a proporcionar una lista de expresiones relevantes, refiriendo al lector a la excelente descripción de la Ref. [4], p. 19.

Una partícula puede distorsionarse de cuatro maneras distintas bajo un campo de velocidades. Cada una de ellas tiene una tasa, o ritmo, de deformación (strain rate) asociada.

Traslación

Es fácil ver que la tasa de traslación es, casi por definición, la propia velocidad $v$ .

Rotación

La tasa de rotación viene dada por la velocidad angular $d\Omega/dt$ . Debido a un molesto factor $1/2$ , se suele definir un vector que es el doble de la velocidad angular

$$\omega=2\frac{d\Omega}{dt} .$$

Esta magnitud, de gran importancia, se denomina vorticidad. Su expresión es particularmente sencilla:

$$\omega=\nabla\times v ;$$

es decir, es el rotacional del campo de velocidades.

Por ejemplo,

$$\omega_z=\frac{\partial v_y}{\partial x} -\frac{\partial v_x}{\partial y}$$

Deformación de cizalladura

La deformación de cizalladura, o de corte (shear strain), tiene tasas asociadas

$$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) ,$$

donde $i\ne j$ . Vemos que estas magnitudes son simétricas, $\epsilon_{ij}=\epsilon_{ji}$ .

Dilatación

La tasa asociada a la dilatación, definida como el cambio relativo de la longitud de la partícula en la dirección $i$ resulta ser

$$\epsilon_{ii}= \frac{\partial v_i}{\partial x_i} ,$$

es decir, la componente $i$ de la divergencia del campo de velocidades

$$\epsilon_{ii}= (\nabla\cdot v)_i .$$

Tensor de deformación

Por tanto, se puede definir un tensor conjunto para la tasa de cizalladura-dilatación. Este tensor cumple las propiedades que pueden esperarse de un tensor de segundo orden simétrico. En particular, existen tres invariantes: la traza, el determinante, y una cantidad adicional. En términos de los autovalores del vector (llamados ``tasas de deformación principales'') las expresiones para estas cantidades son muy sencillas:

• $\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3=\nabla\cdot v$ (traza)
• $\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3$ (determinante)
• $\epsilon_1 \epsilon_2+\epsilon_2 \epsilon_3+\epsilon_3 \epsilon_1$ .

También puede definirse un tensor $\nabla v$ que sea el gradiente de la velocidad (también llamada la jacobiana^2.3) con componentes:

$$\nabla v_{ij}= v_{i,j}=\frac{\partial v_i}{\partial x_j} ;$$

en notación tensorial sería un producto directo de dos vectores:

$$\nabla v= \nabla \otimes v.$$

Es interesante que siempre podemos dividir el tensor en una parte simétrica y otra antisimétrica

$$v_{i,j}= \frac{1}{2}(v_{i,j}+v_{j,i})+ \frac{1}{2}(v_{i,j}-v_{j,i}) .$$

Es fácil comprobar que esto equivale a

$$\frac{\partial v_i}{\partial x_j} =\epsilon_{ij} + \frac{1}{2} \omega_k .$$

Es decir, las derivadas espaciales de la velocidad se deben a deformaciones de cizalladura y dilatación, más un término de rotación, que rota la partícula pero no la distorsiona. (Este término sólo está presente si $i\ne j$ , en cuyo caso $\omega_k$ corresponde a la otra componente cartesiana, con el signo adecuado a la permutación $(i,j,k)$ ).

Más adelante utilizaremos la parte simetrizada del tensor gradiente de velocidades, $\overline{\nabla v}$ :

$$\overline{\nabla v}_{ij}= \frac{1}{2}(v_{i,j}+v_{j,i}) \qquad \overline{\nabla v}= \frac{1}{2}(\nabla v+ (\nabla v)^t) .$$