Malabares, matemáticas, Sage

Grafos con Sage para resolver un problema lúdico

En esta charla vamos a usar:

• Algunas nociones básicas de "Teoría de Grafos"
• 
• ...y...

...un malabarista.

...suelo trabajar con Daniel Sánchez, ¡¡pero no hemos podido traerle!!

Solución: un malabarista virtual

...vamos a usar Jugglinglab, pero hay muchos otros.

Siteswap

Dividimos el tiempo en instantes de igual longitud (cada instante es un beat, o pulso). En cada instante puede hacer a lo sumo un lanzamiento. Cada vez que lanzamos un objeto, anotamos dentro de cuántos pulsos lo volveremos a lanzar (lo llamamos la "altura" del lanzamiento).

Si el malabarista tiene dos manos, usa la mano izquierda en los pulsos impares, y la derecha en los pulsos pares.

Siteswap

La parte combinatoria del movimiento del malabarista queda reducida a una secuencia de numéros enteros: 3535004130... Si observamos a los malabaristas ejecutar varios trucos clásicos, encontraremos que las secuencias de números a que dan lugar son periódicas: cascada de 3 bolas ...33333... “shower” de 3 bolas ...515151...

...vamos a verlo con Juggling Lab

¿Podéis decirme qué trucos hace el malabarista virtual?

SageMath

Es fácil comprobar si una secuencia finita es un patrón de siteswap periódico.

def validate(lanza):
    N = len(lanza)
    recoge = [0]*len(lanza)
    for j,k in enumerate(lanza):
        if recoge[(j+k)%N]>0:
            return False
        recoge[(j+k)%N] = 1
    return True

def validate_bis(seq):
    return len(set((j+k)%N for j,k in enumerate(seq) )) == len(seq)
					

Pero: ¿podemos listar todos los patrones de siteswap posibles?

Estados

• Un instante está caracterizado por los tiempos esperados de caída de cada bola.
• Un estado sólo es válido si cada bola en el aire caerá en un instante futuro distinto.
• Por tanto, podemos representar un estado mediante una secuencia de bola '*' y no bola '_': en la posición i-ésima ponemos una bola si se espera que una bola caiga dentro de i instantes y no-bola si ninguna bola caerá dentro de i instantes.
• Por ejemplo '**__*' quiere decir que hay tres bolas en el aire y que caerán dentro de 1, 2 y 5 instantes.

Diagrama de estados

En cada instante las bolas avanzan una posición en la lista. Por ejemplo, del estado '_***' pasamos siempre a '***_'. Si en la primera posición había una bola, podemos lanzarla, pero sólo a uno de los huecos libres. Por ejemplo, del estado '***_' podemos pasar a '**__' (si la bola se cae al suelo), a '***_' (si lanzamos la bola a altura 3), o '**_*' (si lanzamos la bola a altura 4).

Grafos en Sage

Definir grafos

g = DiGraph()
N = 12
for k in [1..N]:
    for j in k.divisors():
        g.add_edge(j,k)
                    

¿Qué grafo es éste?

Dibujar grafos

g.plot(layout='circular')
                    

Hay muchas opciones para dibujar grafos

g.plot(layout='circular',
       partition=[[v for v in g if g.in_degree(v)==k]
                  for k in [0..N]])
                    

Pasamos a Sage

pincha en la imagen para ver la hoja interactiva en la wiki de Sage de la Universidad de Zaragoza.

Agradecimientos

• 
• Daniel Sánchez (Fausto)
• Wikipedia
• Juggling Lab