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M\(^2\)ASAI Research group (UPM)

Modelización Matemática, Análisis y Simulación Aplicadas a la Ingeniería

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Pablo Angulo : Métodos bayesianos y teoría de decisión óptima en ingeniería.
La teoría de la probabilidad nos permite representar nuestra incertidumbre sobre aquellas cantidades o aspectos de un problema que no conocemos de forma exacta. La estadística bayesiana nos permite actualizar nuestro desconocimiento sobre los parámetros de un modelo cada vez que obtenemos datos. La teoría de decisión óptima nos permite tomar decisiones bajo incertidumbre. Varios conjuntos de axiomas equivalentes muestran que la toma de decisiones óptimas en situaciones de incertidumbre pasa por maximizar una función de utilidad esperada.
En un contexto de ingeniería, se trata de tomar de decisiones de diseño relacionando estas decisiones con el impacto que el diseño tendrá en la vida de las personas, el medio ambiente, etc. A menudo tomar estas decisiones involucra equilibrar varios criterios contradictorios, y se hace necesario el análisis multicriterio.
Pablo Angulo : D-Convexidad
Para un cono \(D\), una función es \(D\)-convexa si su restricción a cualquier recta \(L\) contenida en \(D\) es una función convexa en \(L\). La \(D\)-convexidad tiene aplicaciones a problemas de microestructura de materiales y a integración convexa (una técnica para estudiar inclusiones diferenciales). La envoltura convexa de rango uno es un caso particular de \(D\)-convexidad con aplicaciones al estudio de las funciones quasiconvexas, otro objeto de interés en análisis por méritos propios.
Mi trabajo en este campo, junto a Daniel Faraco y Carlos García-Gutiérrez, está orientado a estudiar las envolturas \(D\)-convexas de un conjunto finito \(K\), y a intentar calcularlas o aproximarlas de forma eficiente.
Carlos Castro : Inverse scattering problems for the Schrödinger equation
Particular solutions of the Schrödinger equation in \(\mathbb{R}^d\), \(d\geq 2\), are plane waves, which depends on the incident angle \(\theta_0\in S^{d-1}\) and the wave number \(k>0\). When there is a potential, these plane waves are no longer solutions, and one can measure the perturbation produced by this potential.
In practice, such solutions are produced by an incident field, which depends on \(\theta\) and \(k\) and measurements usually consists in the perturbation of the incident field at infinity, the far field pattern. This far field pattern will depend on a new parameter \(\theta \in S^{d-1}\) corresponding to the direction of propagation of the scattered wave. Thus, measurements consists in a 3-parameter family of data \(u_{\infty}(\theta_0,k,\theta)\)
The main question is: Can we recover the potential from these far field pattern?
In general, this problem is overdetermined since there is more degrees of freedom in the far field data ((d-1)+1+(d-1)) than in the potential (d). Our work in the last years has been focused in improving recovering algorithms for the potential $V$ from scattering data in different situations:
a) Fixed angle scattering data: \(theta_0\) is fixed
b) Backscattering: \(\theta=-\theta_0\)
c) Fixed energy: \(k\) fixed.
We have improved the classical approach based on the Born approximation with numerical algorithms that provide more accurate reconstructions in dimension d=2,3.
Fabricio Macià, Pablo Eleazar : Smoothed Particle Hydrodynamics
El método de partículas "Smoothed Particle Hydrodynamics" (SPH) es ampliamente utilizado para simulaciones hydrodinámicas en las que intervienen superficies libres, interacciones con sólidos, o fenómenos complejos como olas rompientes. La versatilidad del método y su bajo coste computacional lo hacen preferible, en muchos casos, frente a otros algoritmos también usados en fluidos como volúmenes finitos. No obstante, el método presenta problemas de convergencia y consitencia que están lejos de ser resueltos a nivel teórico.
Nuestro trabajo, junto con el profesor Antonio Souto-Iglesias, del crupo CEHINAV, se centra en problemas con superficie libre que involucran truncamiento del kernel. Estos problemas son de especial interés por su gran aplicación práctica. Matemáticamente, se expresan mediante ecuaciones de convolución truncadas. Para su estudio analítico se emplea análisis de Fourier. Actualmente se está analizando la solución numérica de este problema en busca de patrones que permitan explicar el comportamiento anómalo de la solución en ciertas condiciones. Los análisis desvelan que el esquema presenta problemas originados principalmente en el truncamiento.