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Ejercicios
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1.
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Busca las ecuaciones (paramétricas, implícitas o las que más te convengan) de las siguientes curvas y dibújalas:


 - Lemniscata de Bernouilli


 - Tractriz


 - Cicloide



2.
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Compara las distintas formas de representar la misma curva usando  ``parametric_plot`` ,  ``polar_plot``  e  ``implicit_plot``  para comprobar que se obtiene el mismo resultado:


 - Las ecuaciones implícitas de la recta :math:`Ax+By=1` y la forma polar vista en clase.


 - Las ecuaciones implícitas de la circunferencia :math:`(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2` que pasa por el origan y la forma polar vista en clase.


 - Busca las ecuaciones implícitas de la curva de Agnesi y comprueba que corresponde a la misma curva que la parametrización vista en clase.


 - Idem para el folium de Descartes.



3. Ecuación de un  *hiperplano*  en el espacio :math:`n` -dimensional :math:`\mathbb{R}^n`
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Si denotamos por :math:`x_1,\,x_2,\dots,x_n` las coordenadas cartesianas en :math:`\mathbb R^n`, una ecuación implícita o cartesiana del hiperplano determinado por :math:`n` puntos, :math:`(x_{1,1}, x_{1,2},\dots,x_{1,n})`, :math:`\dots`, :math:`(x_{n,1}, x_{n,1},\dots,x_{n,n})`,  *en posición general* , se obtiene al desarrollar:


.. MATH::

     \mathrm{det}\left(\begin{array}{cccc}x_1-x_{1,1} & x_1-x_{2,1} && x_1-x_{n,1}\\ x_2-x_{1,2} & x_2-x_{2,2}& & x_2-x_{n,2} \\ \vdots & &\ddots \\ x_n-x_{1,n} & x_n-x_{2,n} & &x_n-x_{n,n}\end{array}\right)=0\,.   

Al simplificar el desarrollo, el vector, :math:`(A_1,A_2,\dots,A_n)`, formado por los coeficientes en la ecuación :math:`A_1x_1+A_2x_2+\dots+A_nx_n=B` es perpendicular al hiperplano (vector  *normal*  del hiperplano).

 - Obtén la ecuación implícita del plano que pasa por 3 puntos de :math:`\mathbb{R}`.


4.
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Encuentra 5 puntos tal que la cónica que pasa por ellos sea una hipérbola, una parábola, y el producto de 2 rectas (no importa que no estén en posición general).





5. Explorando el comando  ``animate`` .
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El comando  ``animate``  permite convertir una lista de gráficas en una animación cuyos fotogramas son las gráficas de la lista.


 - Investiga la ayuda de animate, y encuentra el código que muestra la gráfica del seno desplazándose a lo largo del eje x.


 - Crea una animación de un punto moviéndose desde un punto A a otro punto B.


 - Crea una animación de un punto moviéndose a lo largo de una circunferencia de centro (0,0) y radio 1.


6.
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Combina lo aprendido sobre el comando  ``animate``  con lo visto en clase de teoría para crear una animación del haz de cónicas que pasa por 4 puntos. 

7.
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Dada una curva :math:`\gamma: I\longrightarrow \mathbb R^2` dada por :math:`\gamma(t)= (x(t),y(t))`, el vector tangente a la curva en :math:`\gamma(t)` es el vector con origen en :math:`\gamma(t)` y dirección :math:`\gamma'(t)= (x'(t),y'(t))`. Investiga el método  ``arrow``  y dibuja el vector tangente en varias de las curvas definidas en coordenadas paramétricas en la clase de teoría.

8.
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Combina lo aprendido sobre el comando  ``animate``  con el ejercicio anterior para hacer animaciones donde la curva está fija y el  vector tangente se mueve a lo largo de la curva.