Ejercicios
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1.
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Guarda en variables los coeficientes de polinomio de segundo orden. Escribe un código que muestra por pantalla información sobre las raíces del polinomio (tiene dos raíces distintas, una doble, o ninguna).



2.
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Para la lista de números de abajo:


 #. Escribe un bucle for que escriba el resto de dividir cada uno de ellos por 5


 #. Escribe un bloque for con un bloque if anidado que escriba sólo los  múltiplos de 3.


 #. Escribe un bloque for con otro bloque for anidado que, para cada uno  de esos números, escriba, en una misma línea, todos sus divisores (es decir, no uses el método  ``divisors`` ).


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    sage: numeros = [1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91]

3.
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Escribe un bucle  ``while``  que sume los inversos de los números naturales 1/k hasta que la suma  sea mayor que 10. Escribe el número k en el que la suma se detiene.






4. Algoritmo de Herón
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En este ejercicio, utilizamos un algoritmo que aproxima la raíz cuadrada de un número real positivo  *a* . El algoritmo es iterativo: comienza con una aproximación burda:


.. MATH::
    t_0=a


y después en cada iteración del algoritmo sustituimos t por otra aproximación mejor:


.. MATH::
    t^{\ast}=\frac{1}{2}\left(t + \frac{a}{t} \right)


Este algoritmo para calcular raíces cuadradas era conocido por los babilonios, y a veces se le llama  `algoritmo de Herón <http://en.wikipedia.org/wiki/Heron_of_Alexandria#Mathematics>`_ . La sucesión :math:`t_n` converge a la raiz de a.


 - Escribe una función que acepte dos argumentos: un número real  *a*  y un error máximo :math:`\epsilon`, y devuelva una aproximación  *b*  al número :math:`\sqrt{a}` con error menor que el error máximo :math:`\epsilon`:


.. MATH::
    |b^2-a|<\epsilon 

5.
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Busca un número natural  *k*  tal que :math:`|sin(k)|>1-\varepsilon`. No pruebes valores de :math:`\varepsilon` demasiado pequeños: algo así como 0.01 es razonable. Para valores más pequeños, k puede ser muy grande.

6.
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Definimos una secuencia de números por la siguiente regla: el número siguiente a n es n/2 si n es par, y 3n\+1 si n es impar.

 - Escribe una función que acepte como argumento un número  *k* , y  *escriba por pantalla*  todos los números de la secuencia comenzando por k hasta y parando cuando se alcance por primera vez el número 1.


 - Escribe una función que acepte como argumento un número  *k* , y  *devuelva*  el número de veces que se ha iterado la regla anterior hasta llegar a 1 partiendo de k.


 - Aprovecha la función del apartado anterior para encontrar un número tal que la secuencia  tarde al menos 50 pasos en alcanzar 1.


*Nota: Se ha conjeturado, pero no se ha demostrado todavía, que la  secuencia siempre alcanza 1 eventualmente:*


http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz


http://xkcd.com/710/