Poco después de la revolución francesa se vio que también una geometría diferente a la plana es posible.
Aunque ya los griegos partían de que la Tierra era esférica y en 1522 la expedición de Magallanes lo había demostrado de forma directa, no fue hasta los tiempos de la revolución francesa que se vio que una geometría diferente a la euclídea era posible.
Los números tienen su origen en sociedades primitivas que empezaron a intercambiar productos. De ahí que podemos decir que provienen de la práctica social. La geometría como el nombre indica tiene un origen pero que muy terrenal y ha sido fundamental a la hora de medir tierras y en la construcción.
¿Pero qué ocurre con los axiomas que son la base de toda teoría matemática? ¿No suelen ser enunciados evidentes, lógicos, pero abstractos que no tienen necesidad de un mundo real?
El campo de la geometría se ha desarrollado muchísimo, pero conviene asentar una vez más el materialismo, es decir el origen de la práctica social del conocimiento, en este caso de la geometría y sus axiomas:
“También el concepto de figura, igual que el de número, está tomado exclusivamente del mundo externo, y no ha nacido en la cabeza, del pensamiento puro. Tenía que haber cosas que tuvieran figura y cuyas figuras fueran comparadas, antes de que se pudiera llegar al concepto de figura. La matemática pura tiene como objeto las formas especiales y las relaciones cuantitativas del mundo real, es decir, una materia muy real. El hecho de que esa materia aparece en la matemática de un modo sumamente abstracto no puede ocultar sino superficialmente su origen en el mundo externo. Para poder estudiar esas formas y relaciones en toda su pureza hay, empero, que separarlas totalmente de su contenido, poner éste aparte como indiferente; así se consiguen los puntos sin dimensiones, las líneas sin grosor ni anchura… (Friedrich Engels, “Anti-Dühring”, Sección Primera, Filosofía, III. División. Apriorismo)
Sobre la base de un conocimiento acumulado en su época el matemático griego Euclides (330 a.C. – 275 a.C) sintetizó y axiomatizó los conocimientos sobre la geometría. Los axiomas son enunciados “evidentes”, la base sobre la que se levanta una teoría matemática.
¿Qué significa evidente? ¿Cuál es la naturaleza, el origen de los axiomas? En realidad los axiomas son evidentes… hasta que dejan de serlos. Veamos lo que plantea Engels en su libro inacabado “Dialéctica de la Naturaleza” [Matemáticas]:
“Los llamados axiomas matemáticos constituyen las contadas determinaciones discursivas de que necesitan las matemáticas como punto de partida. Las matemáticas son la ciencia de las magnitudes; su punto de partida es el concepto de magnitud. El matemático define de un modo manco este concepto y añade luego exteriormente, como axiomas, las otras determinaciones elementales de la magnitud que no entran en la definición, presentándose así como determinaciones no demostradas y, como es natural, no demostrables tampoco matemáticamente. (…)Spencer tiene razón cuando afirma que, al considerar nosotros estos axiomas como evidentes por sí mismos, lo que hacemos es repetir lo que se nos ha transmitido por herencia. Los tales axiomas pueden demostrarse dialécticamente, cuando no se trata de simples tautologías.”
Es esa herencia de pensamiento lo que nos hace considerar algo como intuitivamente evidente en una época. La intuición cambia cuando los avances en la práctica social nos obligan a ello. Veamos los 5 postulados de Euclides, a ver si nos resultan evidentes. El primer postulado dice “Dos puntos determinan un segmento de recta.” ¿No parece demasiado descabellado, no? El segundo nos dice que “Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.”. Ya tenemos pues, puntos, segmentos que los unen y un segmento que podemos prolongar de forma indefinida. A esto añadimos el tercero que dice “se puede trazar una conferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.” ¿Porqué no? Parece razonable. El cuarto establece que “todos los ángulos rectos son iguales”. Finalmente el último de los 5 dice que “Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.” Estos postulados han dado lugar a una geometría que ha perdurado, ¡dos milenios!
¿Adivinan cuál de los 5 axiomas dejó de ser evidente? El quinto. Como uno puede ver, parece que hasta a Euclides no le resultaba tan evidente, porque en comparación con los otros cuatro, no es tan inmediato. Sin embargo, sin él no se puede demostrar ni el teorema de Pitágoras ni que los triángulas suman 180 grados. Desde su enunciado 300 a.C. ha habido muchos intentos de demostrar que ese quinto axioma se podía demostrar a partir de los otros, pero los intentos fracasaron, porque en realidad es independiente. El axioma o postulado se puede reformular como: “por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a la recta dada.” Esto ya parece algo más evidente y para ver que esto no es necesariamente cierto, tenemos que hacer un esfuerzo de abstracción.
Una nueva geometría
Una recta es la línea más corta entre todas las líneas que unen dos puntos. Ahora si aplicamos esa definición en una esfera las rectas o también llamadas geodésicas (las circunferencias máximas, un círculo que pasa por dos puntos opuestos en la esfera)no podemos trazar ninguna paralela a la recta dada. En definitiva, esto es un contraejemplo al axioma de Euclides.
Las geometrías no euclídeas se desarrollaron a comienzos del siglo XIX de forma independiente por diferentes matemáticos como Gauss, Lobachevski y Bolyai. Esto que diferentes personas descubren de manera independiente una misma cuestión, ocurre muchas veces en la historia y demuestra que el conocimiento es colectivo y está históricamente determinado.
La burguesía necesitaba desarrollar el conocimiento científico para imponer su modo de producción. Fue necesaria esa acumulación de conocimiento en plena revolución industrial y libertad de pensamiento que culminó con dos milenios de geometría euclídea. También en las matemáticas se acababa de demostrar que otra geometría es posible.
Escrito en 2015 en De Verdad: https://www.deverdadtv.es/ciencia/otra-geometria-es-posible/
