Integración clásica

Historia

Históricamente la integración se remonta a los antiguos egipcios. En el Papiro matemático de Moscú, de alrededor del 1800 AC, se muestra la fórmula del volumen de un tronco piramidal. De hecho, el cálculo del volumen de cualquier tronco es uno de los hilos conductores del cálculo tal y como lo conocemos. Hoy relacionamos un área con una integral:
$A=\int_{x_1}^{x_2} y(x) \, dx$ ,
y un volumen con una integral en dos dimensiones:

$V=\int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} z(x,y) \, dxdy$ .
Estas fórmulas, aunque exactas, plantean una serie de problemas. Por ejemplo, los límites de integración, pueden (y suelen) estar relacionados entre sí. A veces, y es lo que expongo en estas breves notas, es más sencillo remontarnos a la antigüedad y considerar las integrales como una "suma de rebanadas", sin necesidad de usar mucho cálculo.

Qué hay que saber

En estas notas, presupongo integración básica en una dimensión. En particular, las siguientes integrales sencillas:
$\int_0^h z \,dz=\frac{h^2}{2} \text{ } \int_0^h z^2 \,dz=\frac{h^3}{3}$

También utilizaré, y esto no es tan común, el concepto de escala, o escalado. Se refiere esto, en este contexto, al hecho de que si alteramos las dimensiones lineales de un objeto plano mediante cierta razón, el área se ve afectada for el cuadrado de esta razón. Es decir, doblar las dimensiones lineales implica cuadruplicar el área. Esto explica la subida drástica de precios de las televisiones planas, por ejemplo. De igual modo, el volumen se ve afectado por el cubo de la razón. En un libro clásico, 100 Preguntas sobre la Ciencia, Isaac Asimov usaba estas ideas para desmitificar ciertos tópicos biológicos (del tipo "las pulgas saltan 10 veces su peso") y para explicar porqué los elefantes precisan unas patas tan enormes (lo cual les impide saltar).

Áreas

Por ejemplo, el área de un cuadrado es trivial: $A=b\times h$ . La integral de arriba arroja esto (con b=x_2-x_1 y y=h ). Pero, ¿qué hacemos para un

paralelogramo? La integral debería, en principio, partirse en tres, porque y(x) sería una "función a trozos" (cada una de las integrales es conocida, sí, pero la integral no queda muy elegante). Sin embargo, fijémonos en que, según subimos en la dirección y, la base, de longitud b, se desplaza rígidamente hacia la derecha. El "techo" mide, de hecho, también b. Así pues, necesariamente $A=b\times h$ , porque según subimos en altura hasta llegar a h vamos teniendo una longitud fija b. Así "integraban" los antiguos, pensando que podían tomar finas rebanadas según iban subiendo en altura. (Nota avanzada: se puede pasar de la integral de un paralelogramo a la de un cuadrado mediante un jacobiano igual a 1, lo cual demuestra que el volumen no cambia. El ejemplo típico es el desplazamiento de una pila de naipes. Esta transformación, con el tiempo en el eje y, es justamente la de la relatividad de Galileo.)

La fórmula de un triángulo es muy sencilla: un paralelogramo se puede dividir en dos triángulos de igual área, trazando su diagonal. Así pues, $A=b\times h/2$ para un triángulo.

Volúmenes

Si el resultado anterior parece muy simple, consideremos volúmenes. Para comenzar, el volumen de un prisma, o de un cilindro, debe ser
V=A_0 h

,
donde A_0

es el área de la base y h es la altura en el sentido anterior: la distancia entre los planos que contienen a las bases, incluso si el prisma, o cilindro, está "torcido". En particular, $V=\pi R^2 h$ para un cilindro. Hasta ahora, es todo muy parecido a lo anterior. Pero ¿cuál es el volumen de un cono? Bastaría ver cuántos conos "caben" en un cilindro. Pero, aunque en un paralelepípedo caben dos triángulos, resulta que en un cilindro no hay sitio para dos conos, sino para tres... lo cual no es muy intuitivo.

Para hacer las cosas algo más rigurosas, consideremos una amplia clase de objetos que podemos llamar pirámides. En éstos, la base tiene una cierta área A_0

que, según subimos "hacia arriba" en

, va reduciéndose, hasta anularse en el ápice. Queremos calcular el volumen de estos objetos, pero esto será
$V=\int_0^h A(z) \, dz$ .
La dependencia del área de cada rebanada con

es sencilla. Cuando z=0

estamos en la base, y esta área vale A_0

. Cuando estamos en z=h

esta área se anula. ¿Qué pasa en medio? Uno estaría tentado de escribir una relación lineal
$A(z)=A_0 \frac{h-z}{h}$ .
Esta es la relación lineal correcta, que proporciona un factor 1 en z=0 y un factor 0 en z=h.

Esto conduciría a V=A_0 h/2

. Pero... ¡es incorrecto!

Según se sube, las dimensiones de las rebanadas van disminuyendo. Como son las dos dimensiones lineales, x e y, el área decrece cuadráticamente con (h-z)/h

. Es decir, a media altura el área se ha reducido a una cuarta parte. Por ejemplo, para una base cuadrada de lado a, el lado a la altura z será a(z)=(h-z)/h

, pero el área será A(z)=a(z)^2=a (h-z)^2/h^2

.

En general:
$A(z)=A_0\left(\frac{h-z}{h}\right)^2$ .

Volviendo a nuestra integral (sí, acabamos integrando, pero no mucho):
$V=\int_0^h A_0\left(\frac{h-z}{h}\right)^2 \, dz=A_0 \int_0^h \left(\frac{h-z}{h}\right)^2 \, dz$ .

La última integral se hace facilmente:
$\int_0^h \left(\frac{h-z}{h}\right)^2 \, dz = \int_0^h \left(\frac{z}{h}\right)^2 \, dz=\frac{h}{3}$ .

Así pues, V=A_0 h/3

.

Por ejemplo:

Pirámide cuadrada:

Cono: $V=\pi R^2 h/3$ (no hemos dicho en ningún momento que forma tenía la base). (Es decir: en un cilindro hay sitio para tres conos con la misma base.)

El tronco egipcio. Desde lo alto de este cono truncado, 4800 años nos contemplan... Bueno, sin necesidad de ponerse napoleónico, es fácil ver que

$V=\int_0^h A_0\left(\frac{H-z}{H}\right)^2 \, dz=\frac{A_0 H}{3} \left[ 1- (1-h/H)^3 \right]$ ,

donde H sería la altura a la que llegaría la pirámide si no estuviera troncada. Esta fórmula no es muy cómoda de usar, así que llamemos al área inferior simplemente A, y a la de la superficie superior B. Como venimos discutiendo, $B=A \left(1-\frac{h}{H}\right)^2$ . Donde ponga H ponemos, por tanto, $h/(1-\sqrt{B/A})$ . Nos queda:
$V=\frac{A h}{3}\, \frac{ 1- (\sqrt{B/A})^3}{1- \sqrt{B/A}}$ .

Pero una sencilla aplicación de la regla de Ruffini nos da (1-x^3)/(1-x)=1+x+x^2

. En nuestra fórmula $x=\sqrt{B/A}$ , así que
$V=\frac{A h}{3}\, (1+ \sqrt{B/A} +B/A)=\frac{h}{3}\, (A+ \sqrt{AB} +B)$ .

El papiro egipcio expresa una forma particular, para troncos de base cuadrada (que, supongo, son los más habituales en la arquitectura egipcia). En este caso, si el lado abajo es a y arriba es b:

$V=\frac{h}{3}\, (a^2+ ab +b^2)$ .

Sobre estas notas

La motivación más reciente de estas notas ha sido la necesidad de calcular ciertos volúmenes en el método de elementos finitos (FEM). En su formulación más sencilla, estos elementos son pirámides con plantas poligonales. Muchos cálculos son bastante triviales gracias a estas consideraciones. Otros (como por ejemplo volúmenes limitados por paraboloides), no tanto.

Remontándonos más, recuedo observar frustrado una enorme tabla de volúmenes y áreas en el patio de mi colegio. Se suponía que teníamos que memorizarlas, pero era sorprendente que se repitieran ciertos patrones: se multiplicaban dos longitudes para áreas, y tres para volúmenes (o un área por una longitud); aparecían numerosos factores de (1/3); la "altura" estaba hasta en la sopa... Por desgracia, mis profesores jamás explicaron estas sospechosas coincidencias.

© Daniel Duque 2009