Snell y los vigilantes de la playa

Es interesante que el ejemplo que generalmente se suele poner sobre la ley de Snell de la refracción, el del vigilante de la playa, no es cualitativo, sino que da justamente la expresión correcta. Aquí lo deducimos y, de paso, demostramos la utilidad de un método matemático debido a Lagrange.


La playa

Un vigilante de la playa ve a una persona en apuros, a una distancia x a lo largo de la playa y una distancia y mar adentro. De esta y, y1 está en tierra e y2 en el mar: y=y1+y2. Suponemos una playa homogénea (sin zona dura debida a mareas, etc) y una caída muy profunda en el agua, de tal modo que el vigilante debe comenzar a nadar inmediatamente; también ignoramos posibles efectos de la fatiga al correr y al nadar. Así pues, el vigilante corre a una velocidad constante por la playa y nada a otra, menor, por el agua.

El problema está por tanto bien claro: el socorrista debe acudir lo más rápido posible, minimizando el tiempo, no el espacio. Cualquiera ve, intuitivamente, que debe por ello correr por la arena, acercándose más a la persona en apuros, y después nadar. Lo que hay que ver es exactamente cuánto debe acercarse.





El problema

Llamemos a la distancia que el socorrista recorre a lo largo de la playa x1. Por tanto, la distancia por el agua será x2, con x=x1+x2. Como se ve en el dibujo, el trayecto consta de dos segmentos, uno con longitud l1 y otro l2. Por el teorema de Pitágoras,
l_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2 }
l_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2 }  .


El tiempo total de recorrido estará dado por la suma de dos tiempos:

t_1=\frac{l_1}{v_1}=\frac{1}{v_1}\sqrt{x_1^2+y_1^2 }
t_2=\frac{l_2}{v_2}=\frac{1}{v_2}\sqrt{x_2^2+y_2^2 } ,

donde v1 es la velocidad por la playa y v2 por el agua.

Hay que minimizar, por tanto,

t=\frac{1}{v_1}\sqrt{x_1^2+y_1^2 }+\frac{1}{v_2}\sqrt{x_2^2+y_2^2 }


Solución

Como hemos dicho, x1 y x2 no son independientes. Podemos, por tanto, escribir  y x2=x-x1 y hallar el mínimo de la función resultante. Sin embargo, Lagrange propuso un método muy interesante para estos problemas.

Finjamos que x1 y x2 sí son independientes. Consideremos la función

T=\frac{1}{v_1}\sqrt{x_1^2+y_1^2 }+\frac{1}{v_2}\sqrt{x_2^2+y_2^2 }+\lambda(x_1+x_2-x) ,

de tres variables, x1 y x2 y λ (¡Lagrange sube la apuesta!). La nueva variable se llama multiplicador de Lagrange. Se puede considerar que el término
\lambda(x_1+x_2-x) "no importa", porque el paréntesis es cero; lo cual es correcto, pero lo interesante es que el problema resultante es más sencillo de resolver de esta manera.

Ahora busquemos el "mínimo" de la nueva función, derivando con respecto a las tres variables (en realidad no es un mínimo, sino un punto de silla, pero no entremos en esto). Derivando con respecto a λ e igualando a cero obtenemos x_1+x_2-x=0; es decir, x_1+x_2=x, como ya sabíamos. Derivando con respecto a las dos longitudes (recordando la regla para derivar una raíz cuadrada) tenemos:

\frac{2 x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2+y_1^2 } }+\lambda=0
\frac{2 x_2}{v_2 \sqrt{x_2^2+y_2^2 } }+\lambda = 0  .

Como podemos pasar λ al otro lado, podemos igualar las dos fracciones:

\frac{2 x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2+y_1^2 } }=\frac{2 x_2}{v_2 \sqrt{x_2^2+y_2^2 } }  .


Ahora bien, los denominadores son, justamente, la longitud de las hipotenusas. Podemos escribir:

\frac{ x_1}{v_1 l_1 }=\frac{x_2}{v_2 l_2 }  .

Además,  x_1 / l_1 es el seno del ángulo incidente (el ángulo con el que socorrista llega al agua);  x_2 / l_2 es el seno del ángulo "refractado" (el ángulo con el que entra a nadar). Si no está claro esto, contemplar la figura anterior.

Así pues,

\frac{ \sin\,\theta_1}{v_1 }=\frac{  \sin\,\theta_2}{v_2} .

que es la ley de Snell, porque si en óptica el índice de refracción se define como n_1=c/v_1. Multiplicando por c:
\frac{ c }{v_1 }\sin\,\theta_1=\frac{c }{v_2} \sin\,\theta_2  ,

o sea:

n_1 \sin\,\theta_1=n_2 \sin\,\theta_2 ,

qed.





© Daniel Duque, 2010