import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import linalg as LA
import pandas as pd

Juego del Caos

Vamos dibujando puntos de manera aleatoria

Triángulo de Sierpinski

Usamos las simetrías

• $f_1(x,y)=\frac{1}{2}(x,y)$
• $f_2(x,y)=\frac{1}{2}(x,y)+(\frac{1}{2},0)$
• $f_3(x,y)=\frac{1}{3}(x,y)+(\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3}),\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}))$

def alea(low=0.0,high=1.0):
    return np.random.uniform(low,high)
def puntoAleatorio():
    return np.array([
        alea(),alea()
        ]
        )

# semejanzas
A = np.array([
    [1/2,0],[0,1/2]
    ])
B1 = np.array([0,0])
B2 = np.array([1/2,0])
B3 = 1/2*np.array([np.cos(np.pi/3),np.sin(np.pi/3)])
B = [B1,B2,B3]

listaPuntos = []
x = puntoAleatorio()
listaPuntos.append(x)

iteraciones = 5000

for _ in np.arange(iteraciones):
    
    x = A.dot(x)
    al = alea()
    if al<=1/3:
        x +=B[0]
    elif al<=2/3:
        x +=B[1]
    else:
        x +=B[2]
    
    listaPuntos.append(x)

coordX = [l[0] for l in listaPuntos]
coordY = [l[1] for l in listaPuntos]

f,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=1,figsize=(8,8))
ax.plot(coordX,coordY,'.',markersize=0.5)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fd5c08703a0>]

Otra manera

listaPuntos = []
x = puntoAleatorio()
listaPuntos.append(x)

iteraciones = 5000

for _ in np.arange(iteraciones):
    
    x = A.dot(x)+B[np.random.choice(3)]
    listaPuntos.append(x)
    
coordX = [l[0] for l in listaPuntos]
coordY = [l[1] for l in listaPuntos]

f,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=1,figsize=(8,8))
ax.plot(coordX,coordY,'.',markersize=0.5)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fd5c088f760>]

Guardamos los puntos en un fichero

puntos = pd.DataFrame(columns=['X','Y'])
puntos.loc[:,'X'] = coordX
puntos.loc[:,'Y'] = coordY
puntos.to_csv('listaPuntosSierpinski.csv',sep=';')
puntos.head()

	X	Y
0	0.207282	0.559435
1	0.603641	0.279718
2	0.801820	0.139859
3	0.650910	0.502942
4	0.825455	0.251471

El helecho

Usamos simetrías del tipo

$$ f_i(x,y) = \begin{pmatrix}A_i&B_i\\C_i&D_i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}E_i\\F_i\end{pmatrix} $$

Las simetrías vienen definidas en la tabla:

f	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	Prob
1	0	0	0	0.25	0.5	0	0.03
2	0.21	0.35	-0.21	0.35	0.39	0.23	0.18
3	0.15	-0.34	0.26	0.2	0.425	-0.005	0.14
4	0.75	0	0	0.75	0.125	0.25	0.65

# semejanzas
A1 = np.array([
    [0,0],[0,1/4]
    ])
A2 = np.array([
    [0.21,0.35],[-0.21,0.35]
    ])
A3 = np.array([
    [0.15,-0.34],[0.26,0.2]
    ])
A4 = np.array([
    [3/4,0],[0,3/4]
    ])

A = [A1,A2,A3,A4]

B1 = np.array([0.5,0])
B2 = np.array([0.39,0.23])
B3 = np.array([0.425,-0.005])
B4 = np.array([1/8,1/4])

B = [B1,B2,B3,B4]

listaPuntos = []
x = puntoAleatorio()
listaPuntos.append(x)

iteraciones = 10000

for _ in np.arange(iteraciones):
    
    choice = np.random.choice(4,p=[0.03,0.18,0.14,0.65])
    x = A[choice].dot(x)+B[choice]
    listaPuntos.append(x)
coordX = [l[0] for l in listaPuntos]
coordY = [l[1] for l in listaPuntos]

f,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=1,figsize=(8,8))
ax.plot(coordX,coordY,'.',markersize=0.5)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fd5c06c2970>]