La ecuación logística

$$ x_{k+1}=r\cdot x_k\cdot(M-x_k),\quad x_i\in\mathbb{R},\forall i,\quad k\in\mathbb{N} $$

Usamos:

• $M = 1$
• $r\in (0,4]$ (el parámetro)

Si $x_0\in[0,1]$, entonces $x_t\in[0,1],\forall t$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

1. Gráfica de la función

$$ y=f(x)=rx(M-x) $$

Damos un valor al parámetro

###############
### PARAMETRO
r=3
###############

def flogistica(x,r=3.8,M=1):
    x2 = r*x*(M-x)
    return x2

x = np.linspace(0,1,200)

y = flogistica(x,r=r)
plt.plot(x,y)
plt.title('Logistic Map, r= {:.2f}'.format(r))

Text(0.5, 1.0, 'Logistic Map, r= 3.00')

2. Simulación

Elegimos un $x_0\in(0,1]$, un número de iteraciones y valor del parámetro $r$

###############
## PARAMETROS
puntoInicial = 0.45
iteraciones = 100
valorR = 4
###############

def iterar(x,f,*args):
    return f(x,*args)

orbita = []

orbita.append(puntoInicial)
for _ in range(iteraciones):
    ultimo = orbita[-1]
    nuevo = iterar(ultimo,flogistica,(valorR))
    orbita.append(nuevo)


f,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=1,figsize=(10,10))
ax.plot(orbita,'.-')
ax.set_xlabel('Iteración')
ax.set_ylabel('X(t)')

Text(0, 0.5, 'X(t)')

3. Iteraciones con el mapa logístico

Representamos la función $f(x)=rx(M-x)$ y la recta $y=x$.

Realizamos iteraciones del mapa logístico usando estas gráficas.

Elegimos:

• punto inicial de las iteraciones
• valor del parámetro $r$

###############
## PARAMETROS

# Gráfica izquierda
valorR1 = 1.7
valorInicial1 = 0.8

# Gráfica derecha
valorR2 = 3.7
valorInicial2 = 0.1
################

def plot_system(r, x0, n, ax=None):
    # Plot the function and the
    # y=x diagonal line.
    t = np.linspace(0, 1)
    ax.plot(t, flogistica(t,r), 'k', lw=2)
    ax.plot([0, 1], [0, 1], 'k', lw=2)

    # Recursively apply y=f(x) and plot two lines:
    # (x, x) -> (x, y)
    # (x, y) -> (y, y)
    x = x0
    for i in range(n):
        y = flogistica(x,r)
        # Plot the two lines.
        ax.plot([x, x], [x, y], 'k', lw=1)
        ax.plot([x, y], [y, y], 'k', lw=1)
        # Plot the positions with increasing
        # opacity.
        ax.plot([x], [y], 'ok', ms=10,
                alpha=(i + 1) / n)
        x = y

    ax.set_xlim(0, 1)
    ax.set_ylim(0, 1)
    ax.set_title(f"$r={r:.1f}, \, x_0={x0:.1f}$")


    
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6),
                               sharey=True)
plot_system(valorR1, valorInicial1, 10, ax=ax1)
plot_system(valorR2, valorInicial2, 10, ax=ax2)